考研平面数学题解析

平面数学是数学的一个分支，主要研究平面几何、代数、三角和解析几何。以下是几道考研平面数学题的解析：

两个平面的夹角可以通过它们的法线向量之间的夹角来求解，即夹角θ为：

cosθ = (n1·n2) / (||n1|| * ||n2||)

其中，·表示点乘，|| ||表示向量的模。

带入具体值计算可得：

n1·n2 = 1*2 2*1 (1)*2 = 2 2 2 = 2

||n1|| = sqrt(1^2 2^2 (1)^2) = sqrt(6)

||n2|| = sqrt(2^2 1^2 2^2) = sqrt(9) = 3

所以，cosθ = 2 / (sqrt(6) * 3) = 2 / (3 * sqrt(6)) = 2 / (3 * 2.45) ≈ 0.3259

则，θ ≈ arccos(0.3259) ≈ 70.5°

直线L1的方程为：

x = 1/2 λ

y = 1/3 λ

z = 1/4 λ

由于直线L2与L1平行，所以L2的方向向量和L1的方向向量相同。

而L1的方向向量为(1,1,1)，所以L2的方向向量也为(1,1,1)。

又因为直线L2经过点A(2,1,1)，所以L2的点向式方程为：

x 2 / 1 = y 1 / 1 = z 1 / 1 = μ

L2的参数方程为：

x = 2 μ

y = 1 μ

z = 1 μ

直线L2的方程为：

x = 2 μ

y = 1 μ

z = 1 μ

两个平面的夹角可以通过它们的法线向量之间的夹角来求解。平面α和平面β的法线向量分别为：

n1=(1,1,1) n2=(2,3,4)

夹角θ = arccos((n1·n2)/(||n1||*||n2||))

带入具体值计算可得：

n1·n2=(1*2) (1*3) (1*4)=2 3 4=9

||n1||=sqrt(1^2 1^2 1^2)=sqrt(3)

||n2||=sqrt(2^2 3^2 4^2)=sqrt(29)

所以，cosθ = 9 / (sqrt(3) * sqrt(29)) = 9 / (sqrt(87))

则，θ = arccos(9 / (sqrt(87))) ≈ 16.25°

平面α和平面β的夹角约为16.25°。